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BO - Betragsoptimum nach Kessler |
Das Betragsoptimum nach Kessler bietet deutlich mehr Potential, als die
oft diskutierten Einschränkungen auf einfache Systeme mit
Verzögerungsgliedern 1. Ordnung vermuten lassen. Der Schlüssel hierzu
liegt in zwei Überlegungen.
In einem ersten Schritt müssen Gleichungssysteme zur Berechnung
der Reglerparameter in einer allgemeinen Form ohne Näherungen oder
Einschränkungen für die Reglerordnung definiert werden. Dabei zeigt
sich, daß zwei Gleichungssysteme genügen. Für unverzögerte Eingänge
(klassisches Betragsoptimum) ergibt sich ein lineares Gleichungssystem.
Wie bekannt, wird in diesem Fall kein Vorfilter für den Sollwert
definiert. Bei verzögerten Eingängen (Symmetrisches Optimum) folgt ein
nichtlineares Gleichungssystem. Ein Vorfilter mit Nennerpolynom wird
definiert. Dieser erste Schritt bietet bereits ein größeres
Anwendungspotential für das Betragsoptimum.
Ein zweiter Schritt führt jedoch erst zur wesentlichen
Verallgemeinerung. Hierzu werden für die Reglerparameter im
Sollwertzweig, im Unterschied zum Rückführzweig, Wichtungsfaktoren
eingeführt. Dabei ist der Integralanteil, wie bekannt, auszuschließen.
Diese Verallgemeinerung ermöglicht die Zusammenfassung der beiden
Ergebnisse aus Schritt eins zu einem einzigen, vereinheitlichten
Gleichungssystem.
Die beiden ursprünglichen Optimierungsvarianten, klassisches
Betragsoptimum und Symmetrisches Optimum, stellen dann Sonderfälle der
Wichtungsfaktoren in dieser einen, verallgemeinerten und
vereinheitlichten Lösung dar.
Die >>>aktuelle BO Toolbox Version 2.0<<<
bietet Funktionen zur Berechnung von Reglern mit dem Betragsoptimum
entsprechend den Darlegungen in Schritt 2. Zur Ermittlung von
sinnvollen Wichtungsfaktoren ist ein Templatefile vorhanden.
Mögliche Kriterien können unter anderem ITAE (Integral of Time And
Error) oder die Überschwingweite sein. Zahlreiche Beispiele mit
Berechnung und Simulation verdeutlichen die einfache Anwendung und
die Brauchbarkeit der Ergebnisse. Die entsprechenden Gleichungen und
Umformungen werden in
"The Magnitude Optimum – the merged
general solution for the PID controller family." zur Verfügung
gestellt.
Eine Tabelle faßt die Aufhebung der Einschränkungen von aus der
aktuellen Literatur bekannten neueren Arbeiten zum Betragsoptimum
(Papadopoulos 2015, Vrancic 2009/2012/2021,
Cvejn 2022, Kos 2020/2021, Mandic 2024) durch die hier in Schritt 2
vorgestellte Lösung zusammen.
Erläuterungen zu Schritt 1 einschließlich der Vorgängerversion 1.2 der
BO Toolbox sind >>>hier<<< zu finden.