BO - Betragsoptimum nach Kessler für unverzögerte Eingänge (klassisches Betragsoptimum) und verzögerte Eingänge (Symmetrisches Optimum)

Die Grundgedanken des Betragsoptimums wurden von C. Kessler bereits 1955 für unverzögert einwirkende Signale ausführlich formuliert und 1958 ebenfalls durch C. Kessler unter der Bezeichnung Symmetrisches Optimum auf verzögert einwirkende Signale umfassend erweitert. Inspirationsquellen lieferten dabei grundsätzliche Überlegungen von A. L. Whiteley und ein nicht verallgemeinertes Beispiel nach R. C. Oldenbourg / H. Sartorius. Wesentliche Beiträge zur Anwendung wurden später durch R. Schönfeld, D. Schröder und G. Brandenburg geleistet. Da genau ein Gleichungssystem die Grundlage aller Berechnungen darstellt, empfiehlt es sich aus heutiger Sicht die Bezeichnungen Betragsoptimum für unverzögerte Eingangssignale (herkömmliches Betragsoptimum) und Betragsoptimum für verzögerte Eingangssignale (Symmetrisches Optimum) zu verwenden.

A - Unter MATLAB steht eine Toolbox BO mit m-Files und Demo's als Freeware zur Optimierung von kontinuierlichen Reglern mit dem Betragsoptimum bereit: aktuelle >>>Version 1.1<<<
Die Funktionen dieser Toolbox zur Optimierung kontinuierlicher Regler basieren auf der verallgemeinerten Anwendung der aus den Forderungen des Betragsoptimums resultierenden Optimierungsgleichungen, d.h es wird weder a priori eine Polkompensation vorgegeben, noch werden Näherungen oder auf spezielle Streckenstrukturen zugeschnittene Optimierungsgleichungen verwendet. Folgende Eigenschaften gelten für das Betragsoptimum allgemein:

1. Optimierung für unverzögerte Eingangssignale:
   • Grundsätzlich nur für einen Integrator im offenen Kreis möglich
   • Liefert lineares Gleichungssystem, Matrizenform sinnvoll - strukturelle Ähnlichkeit zum Digitalen Betragsoptimum
   • Einfachste Fälle sind P- und I-Regler
2. Optimierung für verzögerte Eingangssignale:
   • Beinhaltet keine Beschränkung der Anzahl der Integratoren im offenen Kreis - Optimierung für verzögerte Eingangssignale (Symmetrisches Optimum) ist damit allgemeingültiger als Optimierung für unverzögerte Eingangssignale (klassisches Betragsoptimum)
   • Ein Vorfilter ist definitiv integraler Bestandteil des Reglerentwurfs - entgegen zuweilen anders lautender Aussagen in der Literatur
   • Liefert nicht-lineares Gleichungssystem - strukturelle Ähnlichkeit zum Digitalen Betragsoptimum; Matrizenform kann Übersichtlichkeit erhöhen
   • Einfachste Fälle sind PI- und PD-Regler mit quadratischem Gleichungssystem - strukturelle Ähnlichkeit zum Digitalen Betragsoptimum
   • Umformbar in Sonderfall einer RST-Struktur nach I.D. Landau / G. Zito (von formellem Interesse, da sich die Weitsicht von C. Kessler zeigt, reine Zählerpolynome sind aber nur bei digitalen Regelungen von praktischem Interesse)

3. Ausgewählte Bedingungen / Werkzeuge in der Anfangszeit der Regelungstechnik und Folgen davon:
   • Bodediagramme (logarithmische Amplituden- und Phasengänge), Regler in multiplikativer Darstellung (Zeitkonstanten <==> Nullstellen, Pole), einfache analytische Optimierungsgleichungen, Nomogramme, Näherungen für Regelstrecken
   • Bodediagramme und Regler in multiplikativer Darstellung erfordern Zeitkonstanten, also reelle numerische Ergebnisse; Bodediagramme, einfache Gleichungen und Nomogramme profitieren von Polkompensation; Näherungen bedingen Gültigkeitsbereiche
4. Einige der nicht haltbaren Gegenargumente / Missverständnisse, z.B. ausführlich diskutiert von K.G. Papadopoulos:
   • Polkompensation ist nur eine mögliche Option (und auch nur bei unverzögerten Eingängen), keineswegs aber eine Bedingung des Betragsoptimums
   • Forderung nach nicht mehr als einem Integrator im offenen Kreis gilt nur bei Optimierung für unverzögerte Eingänge
   • Optimierung auf unverzögerte Eingänge kann kein optimales Verhalten bei Störungen am Eingang der Strecke bewirken
   • Optimierung für verzögerte Eingänge beinhaltet per Definition die Vorgabe eines Vorfilters beim Entwurf
   • Das Betragsoptimum schließt a priori weder kompliziertere Strecken noch Regler aus

C - Ausnutzung der potentiellen Möglichkeiten des Betragsoptimums durch die BO Toolbox
In neuerer Zeit ist wieder ein steigendes Interesse am Betragsoptimum zu verzeichnen und verschiedene Autoren haben verallgemeinerte Ergebnisse veröffentlicht. Die der vorliegenden BO Toolbox zu Grunde liegenden Gleichungen vermeiden die dabei noch verbliebenen Einschränkungen, eine Veröffentlichung befindet sich in Vorbereitung.

5. Das Optimierungsgleichungssystem
   • Die Berücksichtigung mehrerer Integratoren beim Entwurf für verzögerte Eingänge ist ohne Näherungen bei der Anwendung des Gleichungssystems zur Optimierung, d.h. ohne Nullsetzen einer Seite, möglich, ebenso können bei unverzögerten Eingängen wahlweise auch Regler höherer Ordnung oder bei verzögerten Eingängen Regler bei nur einem Integrator im offenen Kreis entworfen werden - alles im Unterschied zu K.G. Papadopoulos. Hier zeigt sich die Schwachstelle der Typ-Einteilung nach K.G. Papadopoulos, da tatsächlich zwei Typ I Optimierungen möglich sind, K.G. Papadopoulos aber nur die Optimierung für unverzögerte Eingänge behandelt.
   • Bei Bedarf ist der Entwurf von Reglern höherer Ordnung, d.h. Wichtung höherer Ableitungen, sowohl für unverzögerte Eingänge, als auch für verzögerte Eingänge und jeweils ohne Notwendigkeit der Berechnung von charakteristischen Flächen möglich. Der Wichtungsfaktor für die Potenz Null der Laplace-Variablen im Nennerpolynom der Regelstrecke wird zweckmäßigerweise nicht mit "1" festgelegt - alles im Unterschied zu D. Vrancic.
   • Das Betragsoptimum bei Einsatz von PI-Reglern wurde durch J. Cvejn ausführlich untersucht und festgestellt, dass das "... criterion usually results in very good control quality and can be applied directly for high-order linear models with dead time, without need of any model reduction" und dass obwohl "... the stability margin requirements are not explicitly included in the design objective ... proper open-loop behavior in the middle and high frequency ranges ... is ensured automatically ..." unter bestimmten Umständen.
6. Ausgewählte eingeschlossene Besonderheiten
   • Komplexe Reglernullstellen durch additive Darstellung des Reglers (Verstärkung, Nachstellzeit, Vorhaltezeiten)
   • Nicht-minimalphasige Strecken, komplexe Pole, Mehrfachpole etc. durch Polynomdarstellung
   • Schwingungsglieder, wahlweise Totzeit, auch mit PID-Reglern - im Unterschied zu J. Cvejn mit Untersuchungen zu PI-Reglern
   • Wahlweise integrierte Näherung von Totzeiten mittels Strejc, Pade oder Polynomial
   • Wahlweise Einbeziehung der Glättungszeitkonstante für Regler D-Anteile in den Entwurf
   • Wahlweise Optimierung des Vorfilters zur Reduzierung der Überschwingweite

Homepage Dr. G.-H. Geitner

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