1.    Finden Sie die Lösung für das folgende Gleichungssystem:
 

3x₁ + x₂ - x₃ = 2

2x₁ - x₂ + 4x₃ =0 (A x = b)

x₁ + 5x₂ - 2x₃ = 1
 

Lösung: x₁ = 11/19; x₂ = 2/57; x₃ = -17/57
 

2.   Von dem folgenden Gleichungssystem bestimme man den Rang der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Matrix und gebe die Lösung an.
 

3.   Bestimmen Sie die Länge des Vektors d = a + b + c. Die Vektoren a, b, c, sind durch ihre Koordinaten gegeben:
 

a_x = 5 b_x = 3 c_x = -6

a_y = 7 b_y = -4 c_y = -9

a_z = 8 b_z = 6 c_z = -5
 

4.   Man berechne das Integral
 

Lösung:  = 0,6937
 

5.   Man berechne das Integral
 

Lösung: I = 2,316
 

6.   Man gebe die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichnungen (DGL) an:
 

a)  Lösung: 

b) 

c) 

d) 
 

7.   Man bestimme jeweils die allgemeine und die durch die Anfangsbedingungen festgelegten speziellen Lösungen:
 

a)  Lösung: 

b) 

8.   Durch Laplace-Transformation löse man das DGL-System.
 

y'₁ + y₂ = 0 mit y₁(0) = y₂(0) = 0

y'₂ + y₁ = 0
 

Lösung: y₁(t) = 1 - 1/2 e^t - 1/2 e^-t; y₂(t) = + 1/2 e^t - 1/2 e^-t
 

9.   Die folgenden DGL sind zu lösen.
 

a) x y" - (1 + x) y' + y = 0 mit y₁ = 1 + x (partikul. Lös.) Lösung: y = C₁ e^x + C₂ (1 + x)

b) y y" = y'² y = 
 

Hier finden Sie die Lösung für die Aufgaben von Teil 1.

1.   Das Übertragungsverhalten für Verzögerungssysteme 1. Ordnung kann durch folgende Gleichung beschrieben werden.

Der Absenkungsverlauf des Grundwassers auf Grund einer Entnahme aus einem Brunnen kann in erster Näherung durch solch eine Funktion ersetzt werden (sog. Pumpversuche).

mit:

x_e*K = 1,24

  t  = 1000

Berechnen Sie diese Funktion für mehrere Zeitpunkte unter Verwendung des Programmsystem Mathematika und stellen Sie die Funktion grafisch dar.
 

1.   Exakter Weise kann das Absenkungsverhaltens eines Brunnens mittels der Theis-Funktion berechnet werden. Berechnen Sie mittels der Theis-Funktion

Benutzen Sie für die Werte S und k, bzw. T geschätzte Werte, die Sie nach Belieben ändern können.

Stellen Sie die Absenkung grafisch als Funktion der Zeit (0 s bis 1 d) und als Funktion des Ortes (r = 0 bis 50 m) dar.
 

Hier finden Sie die Lösung für die Aufgaben von Teil 3.