Dr. Julia Goedecke
Hier sind einige Onlineaufgaben zum Thema Lineare Algebra. Sie sind zur eigenen Übung gedacht, es werden keine Punkte gespeichert.
Vektoren und Matrizen
- Vektoren addieren und mit Skalaren multiplizieren
- Matrix und Vektor multiplizieren
- Matrizen multiplizieren
- Matrix erstellen aus Formel für Einträge
- Beispiele finden: Matrizen, deren Produkt die Nullmatrix ist
Lineare Gleichungssysteme
- Anzahl der Lösungen in einem LGS bestimmen
- Anzahl der freien Variablen in einem LGS bestimmen
- Homogenes LGS lösen
- Gauss-Jordan-Algorithmus-Rechner (keine Aufgabe sondern ein Tool)
Inverse Matrizen
- Diagonale Matrix invertieren
- 2x2-Matrix invertieren
- Invertierungsrechner (keine Aufgabe sondern ein Tool)
- Ausdruck mit Inversen simplifizieren
Determinanten
Vektorräume, lineare Unabhängigkeit, Basen, Dimension
- Aufspann von Vektoren bestimmen
- Beispiel finden: 3 linear abhängige Vektoren mit 2 linear unabhängigen Vektoren
- Basis oder nicht? (Multiple choice)
- Dimension eines Aufspanns bestimmen
- Direkte Summe oder Summe?
Koordinatenvektoren
- Koordinatenvektor bezüglich einer Basis finden, 3-dimensional
- Koordinatenvektor bezüglich einer Basis finden, 4-dimensional
Lineare Abbildungen
- Einführung: Ausdrücke in Funktionen einsetzen
- Bestimmen, ob eine Abbildung linear ist
- Formel für lineare Abbildung finden, die auf Basis gegeben ist
Matrixdarstellung von linearen Abbildungen
- Matrixdarstellung in Standardbasis
- Matrixdarstellung einer linearen Abbildung, zweidimensional
- Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
- Matrixdarstellungen einer linearen Abbildung, die durch Bilder einer Basis gegeben ist
- Basiswechselmatrizen bestimmen
- Basiswechselmatrizen bestimmen und auf lineare Abbildung anwenden
Kern und Bild einer linearen Abbildung
- Kern und Bild einer Matrixabbildung bestimmen
- Kern und Bild finden und bestimmen, ob injektiv, surjetkiv, Isomorphismus
- Beispiel finden: Matrix mit Kern Null aber ohne vollen Rang
Nullstellen von Polynomen (Vorbereitung für Eigenwerte)
- Nullstellen von Polynomen finden: Erforschung
- Polynomdivision üben (Grad 4)
- Polynom schrittweise faktorisieren, mit reellen Zahlen (Grad 4)
- Polynome faktorisieren, mit reellen Zahlen (Grad 2 und 3)
- Polynome faktorisieren, mit komplexen Zahlen
Eigenwerte, Eigenvektoren, charakteristisches Polynom
- Einführung: Charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren finden
- Charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2x2-Matrix finden
- Charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3x3-Matrix finden
- Eigenwerte benutzen, um Invertierbarkeit zu bestimmen
- Beispiel finden: Matrix mit Eigenwert 0
Diagonalisierbarkeit
- Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten bestimmen
- 2x2-Matrix diagonalisieren
- Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit einer potenzierten Matrix
Komplexe Zahlen
- Einfache Rechnungen mit komplexen Zahlen
- Durch eine komplexe Zahl teilen
- Betrag und Argument einer komplexen Zahl finden
- Wurzeln einer komplexen Zahl ziehen
- Mittelpunkt und Radius eines komplexen Kreises bestimmen
Skalarprodukte
- Bilinearität benutzen, um Ausdrücke umzuformen
- Einführung: Skalarprodukt und Norm finden
- Vektoren normieren
- Vektoren normieren (nur Standardskalarprodukt)
- Orthogonalität testen
- Bestimmen, ob Orthonormalbasis oder nicht
- Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis finden
- Skalarprodukt und Norm auf Matrixraum berechnen
- Integralskalarprodukt von Polynomen berechnen
- Komplexes Skalarprodukt: Orthogonalität bestimmen und Vektor normieren (semilinear im ersten Eintrag)
- Komplexes Skalarprodukt: Orthogonalität bestimmen und Vektor normieren (semilinear im zweiten Eintrag)
- Längen, Winkel und Grammatrix bestimmen und benutzen
