\documentclass{beamer}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,graphicx}

\author{Klaus Steiniger}
\title[Entwicklung des Teilcheninhalts]{Vortrag im Hauptseminar\\Entwicklung des Teilcheninhalts des Universums}
\date{22. April 2009}

\mode<presentation>

\useoutertheme{infolines}
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\usecolortheme{dolphin}
\usecolortheme{rose}
\setbeamercovered{dynamic}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>{Gliederung}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
  \end{frame}
}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Gliederung}
  \tableofcontents
\end{frame}
%
%Section
%
\section{Einführung}

\subsection{Motivation}

\begin{frame}{Rahmenbedingungen}
\begin{itemize}
\item Alle möglichen Teilchen entstehen durch Prozesse $\gamma\gamma \rightarrow i + \overline{i}$\\
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{zerfall.pdf}
\end{center}
\item Grundannahme:\\
\begin{itemize}
	\item[] Frühes Universum ist im thermodynamischen Gleichgewicht
	\item[$\Rightarrow$] Paarerzeugung genau so häufig wie Paarvernichtung, d.h. $\left\langle N \right\rangle \equiv N = \mathrm{const.}$
\end{itemize}
\item Gleichgewichtsthermodynamik (Quantenstatistik) ist ideale Beschreibung 
\item Teilchensorten sind ideales Quantengas
\end{itemize}
\fbox{
Ziel: Abhänigkeit der einzelnen Häufigkeiten in verschiedenen Epochen
}
\end{frame}
%
%
\subsection{Mathematischer Werkzeugkasten}
%
%
\begin{frame}{Erinnerung an Quantenstatistik}
\begin{tabular}{lcp{0.5\textwidth}}
Teilchenzahl& $N = \sum_{k} \overline{n}_k$& $\overline{n}_k$ - Mittlere Bestzungszahl des Zustandes $k$\\
Energie& $E = \sum_{k} \overline{n}_k \cdot \varepsilon_k $& $\varepsilon_k$ - Einteilchenenergie des Zustandes $k$
\end{tabular}
\vfill
Mittlere Besetzungszahlen:\\
\begin{center}
	$\overline{n}_k = \frac{1}{\mathrm e^{(\varepsilon_k -\mu)/T}-\eta}$ wobei $\eta = \left\{
\begin{array}{rl}
	+1& \mathrm{Bose-Einstein}\\
	0& \mathrm{Maxwell-Boltzmann}\\
	-1& \mathrm{Fermi-Dirac}\\
\end{array}
\right.
$
\end{center}
\end{frame}



\begin{frame}{Erinnerung an Quantenstatistik}
\begin{tabular}{lcp{0.5\textwidth}}
Teilchenzahl& $N = \sum_{k} \overline{n}_k$& $\overline{n}_k$ - Mittlere Bestzungszahl des Zustandes $k$\\
Energie& $E = \sum_{k} \overline{n}_k \cdot \varepsilon_k $& $\varepsilon_k$ - Einteilchenenergie des Zustandes $k$
\end{tabular}
\vfill
Kontinuumslimit:\\
\begin{equation*}
\sum_{k} ... \longrightarrow \frac{g V}{(2\pi)^3} \int^{\infty}_{-\infty}{\mathrm d^3p} \ ... \stackrel{\varepsilon=\varepsilon(\left|\vec{p}\right|^2)}{\longrightarrow} \frac{g V}{2\pi^2} \int^{\infty}_{m}{\mathrm d\varepsilon \  \varepsilon (\varepsilon^2 - m^2)^{1/2} ...}
\end{equation*}
mit:\\
$\varepsilon^2 = p^2 + m^2$\\
$g$ - Anzahl der inneren Freiheitsgrade
\end{frame}



\begin{frame}{Erinnerung an Quantenstatistik}
%
\begin{align*}
n& = \frac{N}{V} = \frac{g}{2\pi^2} \int^{\infty}_{m}{\mathrm d\varepsilon \  \varepsilon (\varepsilon^2 - m^2)^{1/2} f(\varepsilon,t)}\\
\rho& = \frac{E}{V} = \frac{g}{2\pi^2} \int^{\infty}_{m}{\mathrm d\varepsilon \  \varepsilon^2 (\varepsilon^2 - m^2)^{1/2} f(\varepsilon,t)}\\
\end{align*}
wobei $\overline{n}_k (\varepsilon_k ,T) \rightarrow f(\varepsilon,T(t))$
\end{frame}
%
%Section
%
\section{Abhängigkeit der Teilchendichte in verschiedenen Epochen}
%
\subsection{Frühes Universum}
%
%
\begin{frame}{Abhänigkeiten für relativistische und nicht relativistische Teilchenarten}
\begin{align*}
n& = \frac{N}{V} = \frac{g}{2\pi^2} \int^{\infty}_{m}{\mathrm d\varepsilon \  \varepsilon (\varepsilon^2 - m^2)^{1/2} f(\varepsilon,t)}\\
\rho& = \frac{E}{V} = \frac{g}{2\pi^2} \int^{\infty}_{m}{\mathrm d\varepsilon \  \varepsilon^2 (\varepsilon^2 - m^2)^{1/2} f(\varepsilon,t)}\\
\end{align*}
\pause
\\
Für relativistische Teilchenarten ($m \ll T$ und $\mu \ll T$) ergibt sich:
\begin{equation*}
n_{\text{EQ}}(T) = \left\{%
\begin{array}{rl}
	\frac{\zeta(3)}{\pi^2}gT^3& \mathrm{(Bose)}\\
	\frac{3}{4} \cdot \frac{\zeta(3)}{\pi^2}gT^3& \mathrm{(Fermi)}
\end{array}
\right.
%
\hfill
\zeta(3)= 1.20206...
\end{equation*}
\pause
Und nicht-relativistische Arten ($m-\mu \gg T$):
\begin{equation*}
n_{\text{EQ}}(T)= g \left(\frac{mT}{2\pi}\right)^\frac{3}{2}\cdot \mathrm e^{-(m-\mu)/T} \hfill \text{(Bose und Fermi)}
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Nocheinmal}
\begin{tabular}{*2{p{0.5\textwidth}}}
relativistisch& nicht-relativistisch\\
$n_{\text{EQ}} \propto T^3$& $n_{\text{EQ}} \propto (mT)^{3/2}\mathrm e^{-m/T}$
\end{tabular}
\begin{center}
	\includegraphics[width=0.65\textwidth]{muon}\\
	\tiny für Muon mit $m=105.6$\,MeV
\end{center}
Interpretation:
\begin{enumerate}
	\item[] Anzahl der schweren Teilchen nimmt exponentiall ab mit fallender Temperatur
\end{enumerate}
\end{frame}
%
%
\subsection{Danach}
%
%
\begin{frame}{Problemstellung}
Wir haben:\\
Gleichung die n(T) für thermisches Gleichgewicht beschreibt, aber\\
\begin{itemize}
	\item thermisches Gleichgewicht $\Leftrightarrow$ Reaktionsrate $\Gamma=\sigma \cdot L$ ist groß\\(typischer Gleichgewichtserhaltender Prozess: $\overline{\nu}\nu \rightarrow e^+e^-$)
	\pause
	\item $\Gamma \propto L \propto n(t) \propto a(t)^{-3}$ ist abhängig von der Expansion
	\pause
	\item thermisches Gleichgewicht wenn $\Gamma \geq H(t)$\\($H(t) = \dot{a}/a$ - Hubbleparameter)
\end{itemize}
\pause
Der Fall $\Gamma \ll H$ (keine Reaktionen) einfach:
\begin{itemize}
	\item $N$ ist erhalten
	\item $n(t)$ fällt mit $a(t)^{-3}$ (werden wir als Zwischenergebnis erhalten)
\end{itemize}
\pause
\fbox{%
Preisfrage: Was passiert im Übergang?%
}
\end{frame}


\begin{frame}{Fahrplan}
\begin{itemize}
	\item Liouville'scher Satz für Bewegungsgleichung von $f(\varepsilon,t)$ ohne Erzeugung und Vernichtung von Teilchen (durch inelastische Streuung)
	\item Erzeugung und Vernichtung einbauen
	\item Diskussion
\end{itemize}
\end{frame}
%
%
\subsubsection{Liouville'scher Satz}
%
%
\begin{frame}{Liouville'scher Satz}
'Phasenraumdichte ist inkompressibel!'\\
\begin{equation*}
0 \stackrel{!}{=}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f = \frac{\partial}{\partial t}f + \{f,H\}= \left(\frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\nabla_x} + \frac{\boldsymbol F}{m} \cdot \boldsymbol{\nabla_v}\right)f =\boldsymbol{\widehat{L}_{NR}}[f]
\end{equation*}
\pause
Die relativistische Verallgemeinerung
\begin{equation*}
\boldsymbol{\widehat{L}} = p^{\alpha} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} - \Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma}p^{\beta}p^{\gamma}\frac{\partial}{\partial p^{\alpha}}
\end{equation*}
\pause
Mit Robertson-Walker Metrik und $f=f(\varepsilon,t)$ vereinfacht sich das zu:
\begin{equation*}
\boldsymbol{\widehat{L}}[f(\varepsilon,t)] = \varepsilon \frac{\partial}{\partial t}f(\varepsilon,t) - \frac{\dot{a}}{a} |\boldsymbol{p}|^2 \frac{\partial}{\partial \varepsilon} f(\varepsilon,t) \stackrel{!}{=} 0
\end{equation*}
\end{frame}
%
\subsubsection{Boltzmann Gleichung}
%
\begin{frame}{Boltzmann Gleichung ohne Erzeugung und Vernichtung}
Integrieren
\begin{align*}
& \frac{g}{(2\pi)^3}\int^{+\infty}_{-\infty} \mathrm d^3p \cdot \left[\frac{\partial}{\partial t}f(\varepsilon,t) - \frac{\dot{a}}{a} \frac{p^2(\varepsilon)}{\varepsilon} \frac{\partial}{\partial \varepsilon} f(\varepsilon,t)\right]\\
\\
& = \frac{g}{2\pi^2} \int^{\infty}_{m} \mathrm d\varepsilon \cdot \varepsilon (\varepsilon^2 - m^2)^{1/2} \cdot \left[ \frac{\partial}{\partial t}f(\varepsilon,t) - \frac{\dot{a}}{a} \frac{(\varepsilon^2-m^2)}{\varepsilon} \frac{\partial}{\partial \varepsilon} f(\varepsilon,t)  \right]
\end{align*}
\pause
liefert
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} n(t) + 3 \frac{\dot{a}}{a} n(t) \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (n(t) \cdot a^3(t)) \stackrel{!}{=} 0
\end{equation*}
Beschreibt die Entwicklung der Teilchendichte nur aufgrund der Ausdehnung des Universums.
\end{frame}

\begin{frame}{Entwicklung der Teilchendichte ohne Streuung}
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (n(t) \cdot a^3(t)) \Rightarrow n(t)=n(a_0)\cdot \left(\frac{a_0}{a}\right)^3
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item Die Teilchendichte fällt mit $1/a^3$\\
\item Entspricht dem Verhalten der Teilchendichten heute
\item ohne Erzeugung in Sternen...
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Berücksichtigung inelastischer Streuung}
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} n_i(t) = - 3 \frac{\dot{a}}{a} n_i(t) - c(ij \rightarrow kl) + c(kl\rightarrow ij)
\end{equation*}
Annahmen:
\begin{itemize}
	\pause
	\item $c(ij\rightarrow kl) \equiv n_i \cdot n_j \left\langle \sigma_{ij\rightarrow kl}  v_{ij} \right\rangle$
	\pause
	\item Nur stabile Teilchen $\rightarrow i \overline{i} \rightleftharpoons k \overline{k}$
	\pause
	\item im thermischen GG ist Paarzeugung genauso häufig wie Paarvernichtung\\ $c_\text{EQ} (i \overline{i} \rightarrow k \overline{k}) = c_\text{EQ}(k \overline{k}\rightarrow i \overline{i})$\\$n_{i,\text{EQ}} \cdot n_{\overline{i},\text{EQ}} \left\langle \sigma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}} v \right\rangle_\text{EQ} \stackrel{!}{=} n_{k,\text{EQ}} \cdot n_{\overline{k},\text{EQ}} \left\langle \sigma_{k\overline{k}\rightarrow i\overline{i}} v \right\rangle_\text{EQ}$
 \pause
 \item $\left\langle \sigma v \right\rangle_\text{EQ} \cong \left\langle \sigma v \right\rangle$ und Spezies $k$ ist im GG mit restlichem Gas
 \item[$\Rightarrow$] $n_k n_{\overline{k}} \left\langle \sigma_{k\overline{k}\rightarrow i\overline{i}} v \right\rangle = n_{k,\text{EQ}} n_{\overline{k},\text{EQ}} \left\langle \sigma_{k\overline{k}\rightarrow i\overline{i}} v \right\rangle_\text{EQ}$
\end{itemize}
\pause
Es wird:
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} n_i(t) = - 3 \frac{\dot{a}}{a} n_i(t) + (n_{i,\text{EQ}} \cdot n_{\overline{i},\text{EQ}} - n_i n_{\overline{i}})\left\langle \sigma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}} v \right\rangle
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Diskussion}
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} n_i(t) = - 3 \frac{\dot{a}}{a} n_i(t) + (n_{i,\text{EQ}} \cdot n_{\overline{i},\text{EQ}} - n_i n_{\overline{i}})\left\langle \sigma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}} v \right\rangle
\end{equation*}
Vereinfachen mit $n_i = n_{\overline{i}}$ und umschreiben zu Ableitung nach $a$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm da} (n_i a^3) =  \frac{1}{3} \frac{n_{i,\text{EQ}}^2 - n_i^2}{n_i} \frac{\Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}}}{\dot{a}/a} \hspace{0.15\textwidth} \scriptsize \text{mit } \Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}}\text{ - Übergangsrate}
\end{equation*}
\pause
Man erkennt
\begin{itemize}
	\item $\Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}} \ll H \Rightarrow \mathrm d (n_i a^3) /\mathrm da \cong 0 \Rightarrow n \propto a^{-3}$
	\pause
	\item wenn $\Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}}$ nicht vernachlässigbar:\\$n_i \rightarrow n_{i,\text{EQ}}$
\end{itemize}
\end{frame}
%
\subsubsection{Anwendung}
%
\begin{frame}{Elektronen und Positronen}
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm da} (n_i a^3) =  \frac{1}{3} \frac{n_{i,\text{EQ}}^2 - n_i^2}{n_i} \frac{\Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}}}{\dot{a}/a}
\end{equation*}
\begin{itemize}
	\item Prüfen ob heute im therm. GG
	\item errechnen der Temperatur des Ausfrierens $T_f$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Elektronen und Positronen}{für $T \gg m_e$}
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm da} (n_i a^3) =  \frac{1}{3} \frac{n_{i,\text{EQ}}^2 - n_i^2}{n_i} \frac{\Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}}}{\dot{a}/a}
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item Aus Friedmann-Gleichung:\\$\dot{a}/a \sim T^2 / m_\text{PL} $ \hspace{0.15\textwidth}($m_\text{PL} $ - Planckmasse)\\
\item Aus Quantenmechanischen Betrachtungen:\\$\Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}} \sim n_e(T) \alpha^2/T^2 \sim \alpha^2 T$ für $T \gg m_e$\\($\alpha$ - Feinstrukturkonstante)($n \propto T^3$)\\
\pause
\item $\Gamma > \dot{a}/a$ für $T < \alpha^2 m_\text{PL}\sim 10^{14}$\,GeV - Obergrenze\\
\pause
\item für $T=m_e$ ist $\Gamma \sim (\alpha^2 m_\text{PL} / m_e) \dot{a}/a \sim 10^{18}/H^{-1}$ entspricht also $10^{18}$ Reaktionen pro Hubble-Zeit
\pause
\item Thermisches Gleichgewicht sicher für $m_e < T < 10^{14}$\,GeV
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Elektronen und Positronen}{für $T \ll m_e$}
\begin{equation*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm da} (n_i a^3) =  \frac{1}{3} \frac{n_{i,\text{EQ}}^2 - n_i^2}{n_i} \frac{\Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}}}{\dot{a}/a}
\end{equation*}
\begin{itemize}
	\item $\Gamma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}} \sim n_e(T) \alpha^2/T^2 \sim \alpha^2 (T^3/m)^{1/2} \exp[-m/t]$ ($n\propto (mT)^{3/2} \exp[-m/t]$)
	\pause
	\item Vergleich mit $\dot{a}/a \sim T^2 / m_\text{PL}$ liefert (numerische Berechnung):
	\item $\Gamma < \dot{a}/a$ für $T < T_f \sim m_e/40$
	\pause
	\item[]
	\item[$\Rightarrow$] \fbox{%
$n_e(a) = n_e (T_f) \left(\frac{a_f}{a}\right)^3$%
}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Nochmal ein Bild als Zusammenfassung}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{verlauf.pdf}
Aus \cite{kolb}
\end{frame}
%
%
%
\section{Zusammenfassung}
%
%
\begin{frame}{Zusammenfassung}
\begin{itemize}
	\item rel. und n.-rel. Teilchendichten für thermisches Gleichgewicht
	\item Boltzmann Gleichung zur Beschreibung des Übergangs vom Gleichgewicht zum Ausfrieren
	\item Ausdünnung der Teilchen durch Ausdehnung des Universums, keine Neuentstehung
	\item[]
\end{itemize}
Was fehlt (und wir noch hören):
\begin{itemize}
	\item Quark-Hadron Übergang
	\item Bildung von Kernen und später Atomen
	\item Teilchenasymmetrie über Leptogenese und Baryogenese
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Literatur}
\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{kolb} Kolb E.W., Turner M., \textsl{The Early Universe}, Westview Press, 1994
	\bibitem{} James Rich, \textsl{Fundamentals of Cosmology}, Springer, 2001
	\bibitem{} Gerhard Börner, \textsl{The Early Universe - Facts and Fiction}, Springer, 2004
	\bibitem{} Peter Coles, Francesco Lucchin, \textsl{Cosmology}, John Wiley \& Sons, 1995
\end{thebibliography}
\end{frame}

\begin{frame}{Thermisch gemittelter Wirkungsquerschnitt}{quantenmechanisch}
\begin{align*}
-c(ij\rightarrow kl)+c(kl\rightarrow ij) =& -\int{\mathrm d\Pi_i \mathrm d\Pi_j \mathrm d\Pi_k \mathrm d\Pi_l}\\
& \times (2\pi)^4 \delta(p_k + p_l - p_i - p_j)\\
& \times | \mathcal M |^2 [f_i f_j - f_k f_l]\\
\\
\left\langle \sigma_{i\overline{i}\rightarrow k\overline{k}} v_{i\overline{i}}\right\rangle	=& \left( n_{i,\text{EQ}} \right)^{-2} \int{\mathrm d\Pi_i \mathrm d\Pi_{\overline{i}} \mathrm d\Pi_k \mathrm d\Pi_{\overline{k}}}\\
& \times (2\pi)^4 \delta(p_k + p_{\overline{k}} - p_i - p_{\overline{j}})\\
& \times | \mathcal M |^2 \exp[(\varepsilon_i - \varepsilon_{\overline{i}})/T]\\
\\
\mathrm d \Pi= \frac{g}{(2\pi)^3}\frac{\mathrm d^3p}{2 \varepsilon}
\end{align*}

\end{frame}

\end{document}