\documentclass{beamer}
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\author{Klaus Steiniger}
\title[FEL-Grundlagen]{Einführung in die Grundlagen der Physik Freier Elektronen Laser}
\date{23. Juni 2009}

\mode<presentation>

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\setbeamercovered{dynamic}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>{Gliederung}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
  \end{frame}
}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Gliederung}
  \tableofcontents
\end{frame}
%
%Section
%
%{Small Signal Gain Regime}
\section{Bestimmung des Energieübertrags}

\begin{frame}{Ausgangspunkt}
\begin{itemize}
	\item Elektrisches Feld im Undulator, dessen Amplitude sich nur langsam ändert
	\[
	\boldsymbol A(z,t) = \boldsymbol A_\mathrm u(z) + \boldsymbol A_\mathrm r(z,t)
	\]
	\item Einzelne Felder durch
\begin{align*}
\boldsymbol \nabla\times\boldsymbol A_\mathrm u(z)& = \boldsymbol B_\mathrm u(z)& \boldsymbol E_\mathrm r(z,t)& = - \frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol A_\mathrm r(z,t)}{\partial t}\\
\end{align*}
\item im helischen Undulator sind $\boldsymbol B_\mathrm u(z)$ und $\boldsymbol E_\mathrm r(z,t)$ zirkular polarisiert
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Beschreibung des Energieübertrags}
\begin{itemize}
	\item Energieverlust der Elektronen $=$ Energiegewinn des Feldes $\Rightarrow$
\[
\dot{\gamma} = \frac{q \boldsymbol E_\mathrm r \boldsymbol \beta}{m_0 c}
\]
ist geeignete Variable
\item $\boldsymbol \beta$ aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen zu
\[
H(\boldsymbol \wp,\boldsymbol r ,t) = [(\boldsymbol \wp - \frac{q}{c} \boldsymbol A)^2 c^2 + {m_0}^2 c^4]^{1/2}
\]
mit kombiniertem Strahlungsfeld $\boldsymbol A = \boldsymbol A_\mathrm u + \boldsymbol A_\mathrm r$
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Beschreibung des Energieübertrags}
\begin{itemize}
	\item nach länglicher Rechnung
	\begin{align*}
\dot{\gamma} &= - \frac{q E_\mathrm r}{\gamma m_0 c} \left(K \sin{\theta} \right) &\text{mit} \ \ \ \ \theta &= (k_\mathrm u + k_\mathrm r)z - k_\mathrm r ct\\
& & K &= \frac{q B_\mathrm u}{mc^2 k_\mathrm u}\\
\dot{\theta} &= c(k_\mathrm u + k_\mathrm r)\left[ \beta_\mathrm z - \frac{k_\mathrm r}{k_\mathrm u + k_\mathrm r} \right]
\end{align*}
\item $\theta$ Ort des Elektrons relativ zu \underline{ponderomotorischer Welle} ($\theta=0$)
\item \underline{ponderomotorische Welle}:
		\begin{itemize}
			\item Elektronen mit $\theta=0$ hätten keinen Energieübeitrag,
			\item bleiben für immer in dieser Lage ($\dot{\theta}=0$) ($\beta_\mathrm z=z/ct$)
			\item[$\Rightarrow$] werden nicht beschleunigt
			\item[$\Rightarrow$] würden $\boldsymbol E_\mathrm r$ kohärent verstärken (s. Vortrag Gesine)
			\item Solche Elektronen existieren nicht, wegen Strahlungsbremsung
		\end{itemize}
\item Aber: Elektronen Pendeln um diese Lage (s.später)
\end{itemize}
\end{frame}

\section{FEL-Bewegungsgleichungen}
\begin{frame}{FEL-DGL}
\begin{itemize}
\item Allgemein erhält man $\beta_\mathrm z$ aus
	\[
	\beta_\mathrm z \approx 1- \frac{1}{2\gamma^2} - \frac{{\beta_\mathrm x}^2 + {\beta_\mathrm y}^2}{2}
	\]
\item Definition eines $\gamma_\mathrm R$ so, dass 	\[\beta_\mathrm z(\gamma_\mathrm R)=\frac{k_\mathrm r}{k_\mathrm u + k_\mathrm r}\] $\theta(\beta_\mathrm z(\gamma_\mathrm R))=0=\dot{\theta}$
\item Umschreiben von $\dot{\gamma}$ auf $\dot{\eta}= \dot{\gamma}/ \gamma_\mathrm R$ mit $\eta=1-\gamma/ \gamma_\mathrm R$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{FEL-DGL}
\begin{itemize}
	\item liefert die FEL-DGL für small signal gain regime
	\begin{align*}
\dot{\eta}& = - \Omega^2 \sin\theta & \text{wobei}\ \ \ \ \Omega^2& = \frac{q K E_\mathrm r}{mc{\gamma_\mathrm R}^2}\\
\dot{\theta}& = 2ck_\mathrm u\eta
\end{align*}
\item Für kleine $\theta$ ergibt sich sofort die Pendelgleichung
\[
\ddot{\theta} + 2ck_\mathrm u\Omega^2 \theta = 0
\]
für die Phase der Elektronen
\end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}{Lösung mit Störungsrechnung}
\begin{itemize}
	\item Folgender Ansatz für die Variablen
	\begin{align*}
\theta = \theta_0 + \varepsilon\theta_1 + \varepsilon^2\theta_2\\
\eta = \Delta + \varepsilon\eta_1 + \varepsilon^2\eta_2
\end{align*}
$\Delta \equiv (\gamma_0 - \gamma_\mathrm R)/\gamma_\mathrm R$ - Detuning: Energieüberschuss der Elektronen zur Resonanzenergie vor Durchflug
\item Lösung (2. Ordnung): Energiegewinn des Feldes ist antisymmetrische Funktion des Detuning
\begin{tabular}{*{2}{p{0.45\textwidth}}}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{etakontur}
	\end{center}
&%
	\[\left\langle \eta_2 \right\rangle_{\theta_\mathrm i} \propto \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{\sin^2x}{x^2} \right)\]
	\[\text{mit} \hspace{0.08\textwidth} x = 2\pi N_\mathrm u \Delta\]
	\[\delta\eta_\text{Gesamt} = N_\mathrm e \left\langle \eta_2 \right\rangle_{\theta_\mathrm i}\]
\end{tabular}
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}