Energiebilanz beim Bergfahren


"Wir fahren in die Berge, darum wird es langsamer." Wer kennt sie nicht, diese Aussage. Aber was steckt wirklich dahinter? Oft werden Dinge einfach daher gesagt, aus dem Bauch heraus, ohne den Wahrheitsgehalt zu kennen.
Der Beweis, dass diese Aussage dennoch ihre Wahrheit hat, möchte ich an der Stelle liefern.
Motivation dafür ist mein Trainingstagebuch. Dort möchte ich gern die durchschnittliche Leistung abschätzen. Wenn man diese dann ins Verhältnis zum durchschnittlichen Puls abzüglich 0-Watt-Puls setzt (von dem wir an dieser Stelle annehmen, dass er über die Saison gleichbleibt, z.B. 105 /min), so erhält man einen Wert der aussagekräftig hinsichtlich der Grundlagenausdauer ist. Das hab ich mir zumindest gedacht, als ich mir den Conconi-Test angeschaut habe. Zumindest im "Hookschen Bereich" des Körpers, wo man also nicht überzieht, sondern Puls und Leistung sich streng linear verhalten, ist das ein durchaus vernünftiger Ansatz. Bei schweren Bergtouren kann man einen erhöhten Puls bei gleicher Durchschnittsleitung statistisch wieder rausrechnen und erhält auch dort noch brauchbare Werte. Je weniger Pulsschläge je Watt, desto besser die Grundlagenausdauer

Empirische Analyse aufgrund von HAC-Daten
Gedankenexperiment am Keilförmigen Streckenprofil
Optimierungsproblem: Was ist die physikalisch optimale Geschwindigkeitsverteilung?
Theorie und Numerik: Eine umfassende Beschreibung
Gesamtleistung abschätzen - Eingabemaske
Physikalischer Hintergrund der Optimierung


Empirische Analyse aufgrund von HAC-Daten

Nun aber zum Kern des Problems bergiger Touren. Eine bergige Tour zwingt einen eine gewisse Geschwindigkeitsverteilung auf, weil man berggoch langsamer fahren muss und bergrunter gezwungen ist, schnell zu fahren. An der Verteilung kann man recht wenig beeinflussen. Bei schweren Bergtouren kommt noch hinzu, dass man überdurchschnittlich viel Bremsenergie benötigt, weil die Abfahrten meist mit engen Kurven oder fehlenden Auslauf gespickt sind. Mit dem HAC hab ich die Daten für verschieden schwere Touren, jedoch immer sehr lang (damit Besonderheiten der Strecke sich rausmitteln). Zu den Touren gehört noch die Schwierigkeit dazu, die ich in P/km messe. Hier nun das Resultat:

Da die Leistung mit der Geschwindigkeit hoch 3 eingeht, sind insbesondere die verbrachten Zeiten bei Abfahrten vernichtend für die Energiebilanz der gesamten Tour. Als resultat beobachtet man dann, dass man bei bergigen Touren sehr viel Zeit an den Anstiegen verbringt, wo man mit sehr viel Leistung fährt, also unter großer Energieabgabe.
Mithilfe der Geschwindigkeitsveteilung kann man nun die durchschnittliche Leistung berechnen (was die HAC-Software natürlich automatisch macht, leider hab ich keine Ahnung, welche Berechung dort zugrunde liegt). Wie man die Leistung berechnet erfährt man u.a. hier. Ich habe einen stetig fallenden cwA-Wert von 0,32 bis 0,23 angenommen, also von langsam nach schnell. Die mittlere Leistung habe ich nun ins Verhältnis gesetzt zur Leistung, die man benötigt, eine komplett flache Strecke mit der gegebenen Durchschnittsgeschwindigkeit zu fahren. Wenn man das über die Streckenschwierigkeit aufträgt, erhält man soetwas hier:

Die Rollleistung ist unabhängig von der Geschwindigkeitsverteilung und kommt in jedem Fall noch hinzu, das Verhältnis wird dadurch kleiner. Dennoch sieht man, dass man in meiner Gewichtsklasse 72 kg auf der extrem bergigen Heimat Light fast den doppelten durchschnittlichen Luftwiderstand hat wie eine komplett flache Runde. Wenn ich die Heimat Light also mit 25,1 km/h und 143 W im Schnitt fahre, dann ist das die gleiche Leistung wie wenn ich auf einer komplett flachen Strecke 30,4 km/h fahre. Ein beeindruckendes Resultat. Völlig unberücksichtigt bleibt dabei noch die physiologische Tatsache, dass man bei einer extrem bergigen Tour den Körper oft stundenlang an der anaeroben Schwelle bewegt, was eine immense Mehrbelastung im Vergleich zum Flachland ist. Was an der Stelle noch bemerkt werden kann, ist, dass durch 1000 Meter Unterschied in der Höhenlage oder 25 K Temperaturunterschied bei der Heimatlight z.B. augrund der veränderten Luftdichte (proportional zum Druck) jeweils nocheinmal 10 W Unterschied dazu kommen, aber das ist ein anderes Kapitel

Nun noch was zur Aussage: "Ich bin schwerer, darum hab ich es in den Berge schwerer"
Ich hab die Geschwindigkeitsverteilung transformiert hinsichtlich der Masse. Folgenden Annahme: Beim Normgewicht von 87 kg kann man jeder Geschwindigkeit eine Steigung und eine Leistung zuordnen, sodass sich aus Leistung und Steigung wieder eindeutig die Geschwindigkeit ergibt. Für diese Normsteigungen und -Leistungen kann man nun bei abweichenden Gewicht die die Geschwindigkeiten transformieren. Mit den Geschwindigkeiten verändern sich natürlich auch die Zeitdauer im verbrachten Intervall.
Die Rechnung ist nicht weiter schwer, wenn man erstmal die kubische Gleichung hinsichtlich der Leistung gelöst hat. Bei Excel stößt man dabei auf das Problem komplexer Wurzeln oder überhaupt komplexer Zahlen, man kommt da nicht um die Darstellung aus Betrag und Winkel herum, aber das findet man auch bei Excelformeln.de. Hier nun das Resultat für die absoluten Leicht- und Schwergewichte:


Was man vorher schon ahnte ist hier nun offensichtlich: Schwere Fahrer verpulvern im Gebirge viel mehr sinnlos Energie, weil sie auf den Abfahrten schneller sind. Während die Leichtgewichte bei der Heimat Light nur auf das 1,6-fache der Energie i.Vgl. zur Flachlandrunde kommen, liegt beim Schwergewicht dieser Wert bei 2,6.
Zusätzlich dazu sind ihre Durchschnittsgeschwindigkeiten viel niedriger (da sie berghoch viel länger brauchen), was man im Diagramm nicht so gut sieht, aber die Rechnung hat es gezeigt. Noch einmal sei gesagt: Energie wird dort vernichtet, wo man überdurchschnittlich schnell fährt.

Gedankenexperiment am Keilförmigen Streckenprofil

Es gibt aber durchaus den Zusammenhang zwischen steilen Auffahrten und niedrigerer Durchschnittsgeschwindigkeiten: Eine sehr steile Auffahrt erfordert natürlich an anderer Stelle überdurchschnittlich schnell gefahrenen Passagen, um die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit zu erreichen. Folgendes Gedankenexperiment beschäftig sich mit einer Strecke, die aus einer Auffahrt und einer Abfahrt mit jeweils konstanten Anstieg bzw. Gefälle besteht. Durch den Höhenmeter/Kilometer-Quotienten und die Aufteilung der Strecke in bspw. 40% bergauf und 60% bergab ist die Strecke vollständig beschrieben. Steigung und Gefälle folgen dann daraus. Kernfrage ist nun, welche Durchschnittsgeschwindigkeit ein Fahrer bestimmter Masse auf dieser Strecke bei vorgegebener Durchschnittsleistung fahren kann. Dies hängt insbesondere davon ab, welche Leistung er am Berg tritt und wie die Strecke aufgeteilt ist, d.h. genau die Frage danach, ob einer steilen Steigung eine lange flache Abfahrt folgt oder umgedreht. Die Leistung bergab ergibt sich automatisch aus der Forderung nach einer konstanten Durchschnittsleistung. Für zu hohe Leistungen am Berg hat das Problem dann bei langen Auffahrten keine Lösung mehr. Das resultat der Berechnungen seht ihr in folgenden Diagrammen, welche die resultierenden Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von den beschriebenen Parametern für verschiedene Höhenmeter/km-Quotienten darstellt

Bei der Berechnung wurde mangelhafterweise von einem konstanten Luftwiderstand ausgegangen, wovon ich jedoch nicht abrücke, da ansonsten das Lösen kubischer Gleichung notwendig würde.
Die komplette Berechnung ist als *.zip in vorgenannten Link hinterlegt. Lasst euch von der Größe des Exceldokuments nicht abschrecken, es funktioniert wunderbar. Schaut selbst bei welchen Parametern eine Strecke am schnellsten ist oder wann ihr auf einer gegebenen Strecke am schnellsten seid.
In diesem Dokument könnt ihr folgende Erkenntnisse mitverfolgen:
- schwere Fahrer erreichen bei gleicher Durchschnittsleistung nur viel geringere Durchschnittsgeschwindigkeiten.
- bei flachen Strecken mit weniger als 10 HM/km macht es physikalisch (ganz abgesehen von physiologischen Tatsachen)keinen Sinn, Berge mit sehr hohen Leistung zu fahren
- bei bergigen Strecken erreicht man umso höhere Durchschnittsgeschwindigkeiten, je höher die Leistung im Bergaufstück ist
- Strecken mit gewissen HM/km-Quotienten sind umso schneller je flacher bzw. länger der Anstieg ist
Es bestätig sich auch im Gedankenexperiment die Grundregel:
Man ist umso schneller, je weniger die Geschwindigkeiten streuen


Optimierungsproblem: Was ist die physikalisch optimale Geschwindigkeitsverteilung?

Was passiert nun, wenn man das Problem verallgemeinert auf ein kontinuierliches Spektrum von Steigungen, unter der Bedingung, das zum Schluss wieder die Anfangshöhe erreicht wird? Untersucht habe ich das für ein diskretes Spektrum von -15% bis +15%. Gesucht ist also die höchstmögliche Geschwindigkeit unter den Randbedingungen einer gegebenen Durchschnittsleistung, Maximalleistung, einer Minimalleistung von 0W (Rollbedingung bergab) sowie positiven Geschwindigkeiten. Also ein nichtlineares Optimierungsproblem mit 31 Dimensionen und 4 Nebenbedingungen. Man kann, wenn man das Steigungsspektrum vorliegen hat, das Problem vollständig in Excel mit dem AddIn "Solver" lösen, was eine sehr intuitive Eingabemaske hat. Wenn man sinnvolle Startwerte für die einer Steigung zugeordnete Geschwindigkeit angibt, gelingt es Excel, eine Lösung zu finden. Bei der bergigen Heimat Light besteht diese Lösung darin, berghoch maximale Leistung bis zu jener Steigung zu fahren, ab der mit dieser Leistung eine gewisse Geschwindigkeit, die unterhalb der zukünftigen Durchschnittsgeschwindigkeit liegt, erreicht ist. Diese Geschwindigkeit wird bei der Heimatlight gefahren von ca. 4% Steigung bis -2 % Gefälle. Bei steileren Abfahrten sollte man dann nur noch rollen.
hier einige charakteristische Parameter (Maximalleistung am Berg (Zeile),Durchschnittsleistung (Spalte)) für die Heimat light:
180 W 140 W 120 W
280 W 25,53 km/h 24 km/h 22,17 km/h
320 W 26,02 km/h 24,33 km/h 22,36 km/h
360 W 26,3 km/h 24,54 km/h 22,46 km/h
Hier sind die Spektren für eines der obigen Parameterpaare:

Noch interessanter wird die Analyse, wenn man verschiedene Touren miteinander vergleicht. Mittlerweile habe ich ein Delphi-Programm "Leistungsanalyse1.0"geschrieben, was das optimale Leistungs-/Geschwindigkeitesspektrum berechnet und somit Auskunft darüber gibt, wie schnell man sein kann, wenn man eine gewisse Durchschnitts- und Maximalleistung vorgibt. [Anmerkung für die Interessierten: Das Programm macht nichts anderes, als berghoch Maximalleistung anzunehmen und Bergrunter 0 W, die mittleren Steigungen/Gefälle erhalten eine konstante Geschwindigkeit. Die Ausdehnung und Geschwindigkeit des Mittelteil sind so anzupassen, dass die Durchschnittsleistung erreich wird. Dies stellt das physikalische Optimum dar.] Steigungsspektren kann man sich im Internet beschaffen, indem man z.B. bei Bikemap.de eine Route erstellt, sie in Gps-Track-Analyse.net einliest und mit SRTM-Höhendaten versieht, wieder als *.gpx abspeichert und in Excel importiert. Hier berechnet man mithilfe der Kugelkoordinaten die Strahllängen und kann nun mitsamt der Höhendaten die Steigungen berechnen, sinnvoll mitteln und in Gruppen einordnen. Man muss also nicht eine Route gefahren sein und mit HAC und co. vermessen haben, um dennoch aussagefähig über die Durchschnittsgeschwindigkeit zu sein. Welch enormen Einfluss die Runden auf die mögliche Durchschnittsgeschwindigkeit haben, sei anhand von folgendem Diagramm verdeutlicht:


Der gemeine Hobbyradsportler muss also schon Geschwindigkeitsdifferenzen von bis zu 10 km/h hinnehmen, ein beeindruckendes Resultat. Ebenso beeindruckend ist die Analyse des Einflusses des Gewicht bei gleichen Leistungsdaten aber differierenden Systemgewichten. Dabei unterscheiden sich die Fliegengewichte (60kg) von den Schwergewichten (100 kg) um fast 8 km/h auf dem Riesengebirgsmarathon, nämlich 20,4 km/h und 28,1 km/h, ein wahre Hausnummer und Grund zum Hungern ;-)

An dieser Stelle sei noch auf den positiven Effekt der trägen Masse hingewiesen: Sie verhindert, dass der Rennradler zu schnell beschleunigt, und damit dass er Geschwindigkeiten erreicht, bei denen er sehr viel Energie in die Luft umsetzt. Außerdem kann man dank der trägen Masse ja auch durch Dellen durchrollen und spart Energie. Diese Effekte bleiben unberücksichtigt. Mit Sicherheit ließe sich nämlich eine Rennradbahn konstruieren, die sich zusammensetzt aus sich wiederholenden Abschnitte bestehend aus 10 Meter Gefälle und 10 Meter Anstiege mit jeweils 5 % z.B. Man kann sich dann schnell ausmalen, dass man wahrscheinlich bei normaler Leistung immer zwischen 35 und 25 km/h pendelt, die Geschwindigkeitsspitzen fehlen, die Durchschnittsgeschwindigkeit bleibt hoch, aber man macht eben 25 HM/km ... Dank der trägen Masse. Leider ist die träge Masse mit extrem großer Wahrscheinlichkeit an die schwere Masse geknüpft, das zeigten bisher alle physikalischen Experimente hinreichend genau, deshalb ist die Freude über die Masse im Gebirge also eher unbegründet. Zur "Theorie der Dellen" findest du mehr Informationen im Kapitel "Infos zur Liste"->"Schwierigkeit". In Leistungsanalyse2.0 wird die träge Masse, also die Beschleunigungsvorgänge, berücksichtigt. Es zeigt sich, dass durch die träge Masse auf bergigem Terrain ein halber km/h und teilweise noch mehr Geschwindigkeit gegenüber den bisher vorausgesehenen Werten gewinnt.

Theorie und Numerik: Eine umfassende Beschreibung

An der Stelle soll die Problematik bergiger Strecken ein wenig physikalischer betrachtet werden. Es soll auf das anfängliche Problem zurückgekommen werden: Wie groß ist die durchschnittliche Leistung, die man bei einer bestimmten Geschwindigkeit v0 mit dem Systemgewicht M auf einer Strecke mit m Hm/km erbringen muss, oder besser, durchschnittlich erbringt. Besser deshalb, weil das normale Leistungsspektrum eines Rennradlers nicht dem physikalischem entspricht, jedoch ist der Unterschied nicht groß, im Gegenteil, er bewegt sich in der Größenordnung eines km/h.

Die Erhöhung der Durchschnittsleitung wird nur durch die Geschwindigkeitsverteilung im Luftwiderstandsterm bewirkt, jedoch durch die Anpassung des cwA an die Geschwindigkeit gemildert. cwA soll zunächst als const. und somit zu a zugehörig angenommen werden. Die zeitliche Mittlung der Steiggeschwindigkeit st soll 0 ergeben, da Start- und Endhöhe der Strecke übereinstimmen sollen. Wir betrachten in der Folge eine auf die Durchschnittsgeschwindigkeit v0 normierte Geschwindigkeistverteilung v(t) = v(s(t)):

Mit der Normierung von R = 1 ergibt sich die Grundgleichung mit den grundlegenden Zusammenhängen:

Die Durchschnittliche Leistung eines Radfahrers auf einer bergigen Strecke hängt also ab von:
  1. Durchschnittsgeschwindigkeit v0
  2. Steigungsspektrum ρr(s) der Strecke
  3. Luftdichte ρl, die maßgeblich von der Temperatur T und dem Luftdruck p abhängt
  4. Systemgewicht M
  5. auf v0 normiertes Geschwindigkeitsspektrum v(s)
  6. geschwindigkeitsabhängiger cwA(v(s))-Wert
  7. Rollreibzahl k
In der Folge sei ein Versuch skizziert, das Problem analytisch zu erfassen. Das Steigungsspektrum ρr(s) soll auf die Gesamtdistanz R normiert sein und einen Hm/m - Koeffizienten m widerspiegeln. Zusammen mit der Forderung an die konstante Durchschnittsgeschwindigkeit ergeben sich also 3 integrale Bedingungen:

Da die Gesamtdistanz R in (23) völlig belanglos ist setzen wir sie 1 wodurch sich (24) und (25)"vereinfachen". Die Bedingungen (23) und (24) werden bspw. durch folgendes Steigungsspektrum erfüllt:

Problematisch hingegen ist die Bedingung (25), da es zu einem Integral mit gebrochenem Integranden kommt. Prinzipiell ist natürlich ρr(s) und v(s) so zu wählen, dass dieser Integrand ein Polynom ersten Grades ist, sodass man nach Integration eine quadratische Gleichung nach v0 aufösen könnte. Zu beachten ist außerdem, dass v(s) stets größergleich die Rollgeschwindigkeit vr für negative s, also im Gefälle, ist. Wir nehmen folgendes Geschwindigkeitsspektrum an:

Und müssen also das Integral in (25) lösen:

An der Stelle wird klar: Eine analytische Lösung bedarf schon jetzt zur Normierung des Geschwindigkeitsspektrums einiger grundlegender Taylornäherungen, da sich (28) nicht nach v0 auflösen lässt. Es stellt sich die Frage nach Sinn und Unsinn der Analysis. Ich finde sie ab hier sinnlos. Wir betrachten das Problem empirisch und beschränken uns auf die Beschreibung des Faktors:

(32) ist durch (18) motiviert. Die Faktor A beschreibt die Zunahme der Luftwiderstandsleistung im Vergleich mit einer ebenen Strecke, die mit konstanter Geschwindigkeit gefahren werden kann. Diese Mehrleistung hängt im Wesentlichen ab von der Bergigkeit m der Strecke, vom Gewicht M des Systems und von der Durchschnittsgeschwindigkeit v0. Mit der Annahme von fermiverteilten cwA(v) (Formel 53) und PFahrer(v) (Formel 77) wird der Faktor (32) numerisch berechnet. PFahrer(v) muss für die nötige Zielgeschwindigkeit entsprechend angepasst werden.
Die errechneten Daten werden geeignet gefittet. Jetzt fragen sich sicherlich einige, warum man die numerische Berechnung auch noch fitten sollte, weil man doch, wenn man schon mal rechnet, sowieso die komplette exakte Rechnung durchführen kann und keine Näherungsformeln der numerischen Ergebnisse benötigt. Falls man die Ergebnisse jedoch im Trainingstagebuch (z.B. in Excel) anwenden will, ist eine "einfache" Formel sicherlich einfacher. Deshalb sollen die Daten jetzt durch geeignet geratene Funktionen beschrieben werden.
Wenn man sich die Ergebnis betrachtet, so kommt man bald zudem Entschluss, dass eine "Trilineare" Abbildung von Potenzen von m, M und v ungeeignet zur Beschreibung ist. Stattdessen kann man hierarchisch, geeignete Funktionen erraten. Hierarchisch meint, dass man den Grundzusammenhang auf die interessanteste Abhängigkeit setzt, das wird mit m, dann mit M und zum Schluss erst mit v gemacht.

11 Konstanten ci sind hier also genutzt, um das Problem hinreichen genau zu beschreiben. Es ergeben sich folgende Werte:

Die Parameter gelten, falls man die Einheiten [v] = km/h und [m] = Hm/m annimmt. Wie man in folgender Darstellung des Verhältnis von numerisch bestimmten und durch (32) betrachtet, beschränkt sich der Fehler in den wichtigen Regionen auf 3% (schraffiert dargestellt), das heißt die gegebene Formel taugt zu Abschätzung!

Letzten Endes braucht man also noch die Verteilung des Luftwiderstandsbeiwertes:

Für die gesamte Berechnung wurde das dreieckige Steigungsspektrum (26) angenommen. Es ist aber in (18) nachzuvollziehen, dass die Mehrleistung wesentlich größer ausfallen kann, wenn die Gesamthöhenmeter implizit durch große Steigungen bzw. explizit durch große Gefälle gewonnen werden. Um das auch noch zu berücksichtigen, muss man aber tatsächlich die LeistungsAnalyse2.0 anwenden. Außerdem ist zu berücksichtigen, dass ρ15K = 1,225 kg/m3 zwar in der Rechnung als konstant angenommen wurde, jedoch wesentlich von der Temperatur T und dem Luftdruck p abhängt. Wenn man den Einfluss von ρl auf A vernachlässigt, kann man die beiden Umweltgrößen T und p wie folgt berücksichtigen:

Es gilt T15K = 288 K und p0 = 101325 Pa.
Zum Abschluss seien die Grundlegenden Zusammenhänge des Faktors A(m,v,M) in einem typischen Punkt (86 kg, 12 Hm/km, 29 km/h) dargestellt:
Der Zusammenhang zwischen Bergigkeit und Mehrleistung ist der dominanteste. Wegen diesem Zusammenhang sind die ganzen Überlegungen ja überhaupt erst aufgenommen. Das gesamte A(m)-Spektrum ist für jeden Fahrer erfahrbar. Für kleine Schwierigkeiten hat man kaum mit Mehrleistung zu rechnen. Typischerweise steigt der effektive Luftwiderstand ab 10 Hm/km linear mit m, und zwar umso steiler, je langsamer man fährt und je schwerer man ist.
Der Faktor A fällt mit der Geschwindigkeit. Zeit sich zu erinnern, dass A nicht den Absolutwert des Luftwiderstand meint, sondern das Verhältnis zur einer flachen Strecke. Je "schneller" man fährt, umso weniger Bedeutung haben Berge. Auch diese einfachen Zusammenhang haben Anfänger sicherlich schon schmerzlich erfahren müssen ;-) Das gesamte Spektrum kann man aber nicht überblicken, wer fährt schon Bergetappen mit 40 km/h?
Und zum Abschluss die Motivation abzunehmen, denn: Aufgrund der schweren Masse fahren schwere Fahrer in Abfahrten in besonders Energie vernichtenden Geschwindigkeitsbereichen. Am Berg hingegen sind sie langsamer, was durch große Streckenabschnitte in unökonomischen Geschwindigkeitsbereichen kompensiert werden muss. Macht euch doch einfach den Spaß, und gebt mal verschiedene Massen für noch bergigere Strecken in die Eingabemaske ein.

Gesamtleistung abschätzen - Eingabemaske
Das das Abschreiben der Formel (58) aufgrund von Tippfehlern doch ausarten kann, hier die Eingabemaske für die Schnellinteressierten:
Durchschnittsgeschwindigkeit /(km/h) :
Bergigkeit Hm/km :
Temperatur /°C :
Luftdruck /hPa :
Systemgewicht /kg :
Rollreibzahl :

Physikalischer Hintergrund der Optimierung

In Optimierungsproblem: Was ist die physikalisch optimale Geschwindigkeitsverteilung? ist die optimale Geschwindigkeitsverteilung für eine möglichst geringe Durchschnittsleistung empirisch anhand eines Beispiels bestimmt worden. Außerdem wurde die Vermutung geäußert, worin das Optimum besteht. Lässt sich das Optimum aber auch ohne Beispiel erklären?
Im Abschnitt "Theorie und Numerik: Eine umfassende Beschreibung" ist die Fragestellung nach der optimalen Geschwindigkeitsverteilung in Formel (21) kompakt zusammengefasst. Die optimale Geschwindigkeitsverteilung v(s) ist demnach jene, welche das Integral:

minimiert. Man erkennt die Mathematik des Problems, nämlich die Variationsrechung, die sich damit beschäftig, für welche Funktionen ein Funktional extrem wird.
Zur dem Funktional (60) kommt noch die Randbedingung hinzu, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit konstant sein soll:

Die Herleitung einer notwendigen Bedingung für die Lösung v(s) dieser Variationsaufgabe geschieht mittels einer Eulerscher Differentialgleichung (Nachzuvollziehen im Bronstein im Kapitel "`Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen"'):

mit

Da H aber gar nicht explizit von v's, also der Ableitung er Geschwindigkeitsverteilung nach der Steigung, abhängt, vereinfacht sich (62)zu:

v ist also gemäß (66) konstant, wobei nach Gleichung (65) noch mehrere Werte in Frage kämen, jedoch keine Steigung mehr in s vorhanden ist. Durch einsetzen in die Randbedingung (61) erhält man aber, dass v genau den Wert der Durchschnittsgeschwindigkeit annimmt, so wie es auch sein sollte. Hervorzuheben ist bei dem Resultat, dass die optimale Geschwindigkeit nicht vom konkreten Steigungsspektrum ρr(s) abhängt.
Der aufmerksame Leser wird an dieser Stelle bemerken, dass mit einem Geschwindigkeitsabhängigen cwA-Wert gerechnet wurde, was bspw. in der so wichtigen Formel (21) noch anders war. setzt man ein Steigungsabhängiges cwA(s) in die Variationsrechung ein, so wird man erhallten, dass v durchaus nicht konstant sein sollte, sondern proportional zu cwA-1/3. Je kleiner also cwA(s), desto größer fällt die Geschwindigkeit aus. Bei der Suche nach dem Physikalischen Optimum jedoch ist wichtig, dass cwA nur implizit über v(s) von der Steigung abhängt. Sollte das physikalische Optimum jedoch in einer konstanten Geschwindigkeit bestehen, so ist dann auch der cwA(s) konstant. Das dargelegte ist die physikalische Begründung dafür, dass eine möglichst konstante Geschwindigkeit der physikalisch effektivste Fortbewegungsmodus in bergigem Terrain ist. Wer findet, die Variationsrechnung sei die auf Spatzen gerichteten Kanonen, dem sei recht gegeben. Vereinfacht man das Problem wieder auf ein keilförmigen Streckenprofil, so kann man die Lösung einfach mit Differentiation, wie man sie aus der Schule kennt berechnen. Man formuliert das Problem dann so: Ein Strecke wird mit der Durchschnittsgeschwindigkeit v0. Die erste Hälfte soll mit der Geschwindigkeit v1, die zweite Hälfte mit v2 zurückgelegt werden. Was ist der Minimale Energiemehraufwand?

Die einzige in Frage kommende Lösung ist also v1=v0=v2, also die Gleichheit der Geschwindigkeit auf allen zwei Streckenabschnitten.
Man kann sogar zeigen, dass E monoton mit |Δ|=|v1-v2| , also dem Abstand von der gemeinsamen Durchschnittsgeschwindigkeit, steigt:

Der Kern des Problems ist nun die Beschränkung des Geschwindigkeitsverteilung von unten durch die Rollgeschwindigkeit vr und von oben bspw. eine Maximalgeschwindigkeit aufgrund der physiologisch maximal "dauerhaften" Leistung, bspw. der Leistung an der ANS (z.B. 320 W). Eine konstante Geschwindigkeit ist also nicht verwirklichbar, einerseits aufgrund der begrenzten Leistungsfähigkeit an Anstiegen, andererseits durch das schnellere Rollen in Abfahren.
Aufgrund der Darlegung am keilförmigen Streckenprofil ist klar: Im Optimum kann es keine abfallenden Streckenabschnitte geben, die mit geringerer Geschwindigkeit gefahren werden, als ansteigende Streckenabschnitte. Warum? Weil es möglich wäre, dass beide Streckenabschnitte mit der gleichen Durchschnittsgeschwindigkeit gefahren werden, was dem Optimum auf den zwei Streckenabschnitten entspräche.
Es existieren also zwei Steigungen so, dass für die erste (negative) Steigung s0 die Rollgeschwindigkeit mit der Maximalgeschwindigkeit der zweiten Steigung s1 zusammenfällt. Der Bereich zwischen diesen Steigungen genügt der Variationsaufgabe und wird durch eine konstante Geschwindigkeit ausgefüllt.
Mit Sicherheit stimmt man zu, dass für ein Streckprofil, bei dem genau der mittlere Steigungsbereich ausgespart ist, diese Geschwindigkeitsaufteilung optimal bezüglich kleinst möglicher Durchschnittsleistung ist. Denn gemäß der Darlegung am Keil ist es für zwei beliebige Anschnitte im Geschwindigkeitsspektrum unmöglich, die Geschwindigkeiten so zu verändern, dass eine optimalere Verteilung angenommen wird. Dazu müsste nämlich nach (76) die Differenz beider Geschwindigkeiten verkleinert werden, dass heißt die größere Geschwindigkeit verkleinert und die kleinere vergrößert werden. Wenigstens eine der beiden Sachen ist aber unmöglich aufgrund der oberen oder unteren Schranke.
Das gleiche Argument gilt nun aber auch für den Fall, dass auch zwischen den Steigungen s0 und s1 Streckenabschnitte existieren.
Im Resultat erhält man folgendes Steigungsspektrum:

Die optimalen Steigungsspektren aller Strecken sehen sich ähnlich. Die Lage der konstanten Geschwindigkeit entscheidet über die Durchschnittsgeschwindigkeit. Eine höhere Leistung verschiebt die blaue Grenze nach oben. Erlaubte Geschwindigkeiten liegen innerhalb des dunkelroten Bereichs. Man erkennt, dass die konstante Geschwindigkeit keinesfalls der Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht, sondern sie ist im allgemeinen kleiner oder größer ausfällt, je nach Steigungsspektrum.
Im Diagramm ist in Gelb auch das Beispiel eines realen Leistungsspektrums gegeben. Es beschreibt sich aus einem fermiverteilten Leistungsspektrum:

Im Beispiel sind die Parameter Pvd=154 W, vd=29 km/h und T=5.004 km/h. Es ist bemerkenswert, dass sich der Energiemehraufwand aufgrund der nicht optimalen Leistungsabgabe mit 6 W sehr begrenzt ist, was eine erfreuliche Nachricht ist. Wäre es nicht so, dann müsste man sich ernsthaft überlegen, sich eine über der Geschwindigkeit stufenförmige Leistungsabgabe anzutrainieren.