vorläufige Prüfungsschwerpunkte (Herbst 2008)
(letzte Änderung 14.8.08) 

    Lineare Algebra und Analytische Geometrie, 
        elementare Zahlentheorie, Algebra

für den schriftlichen Teil der 1. Staatsprüfung,
Fach Mathematik, Lehramt an Gymnasien,
Klausur 2, Variante aa, 
Herbst 2008

Grundlage sind die Vorlesungen 

Algebra I,
gehalten von Prof. R. Pöschel im WS 2004/2005
bzw. von Prof. F. Dau im WS 2005/2006

Zeitaufteilung (ungefähr): 
LAAG          80 min (40 Punkte), 
Zahlentheorie 40 min (20 Punkte),
Algebra      120 min (60 Punkte)

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Schwerpunkte "LAAG":

  bei Prof. G. Bär nachfragen



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Schwerpunkte "Zahlentheorie":

- Ring der ganzen Zahlen,
  Teilbarkeit, Primzahlen

- Restklassenringe mod n,
  insbesondere das Rechnen modulo n,
  Chinesischer Restsatz 

allgemeine Methoden wie z.B. vollständige Induktion


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Schwerpunkte "Algebra":

Gruppen (wann ist eine Menge mit einer Verknüpfung eine Gruppe)
  Untergruppen, Normalteiler, Faktorgruppen,
  zyklische Gruppen,
  abelsche Gruppen 
  (Haupsatz über die Struktur der endlich erzeugten abelschen Gruppen), 
  Homomorphismen und Isomorphismen,
  insbesondere Automorphismen(gruppen) von Graphen (!),
  Permutationsgruppen (Stabilisator, Bahn eines Elements)
  Ordnung einer Gruppe bzw. eines Gruppenelements, 
  Satz von Lagrange

Polynome und Körper
  Polynomring K[X] über Körper K, auch endliche Körper, 
  Reduzibilität/Irreduzibilität, 
  (notwendige und/oder hinreichende) Irreduzibilitätskriterien, 
  z.B. Eisenstein, Nullstellen,  
  Minimalpolynom \phi einer Nullstelle \alpha,
  der Faktorring K[X]/(\phi),
  Zerfällungskörper eines Polynoms

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Anmerkung:
neben einer guten Kenntnis des Prüfungsstoffes ist
vor allem ein gesunder mathematischer Verstand gefragt
(z.B. wie führt man einen Beweis, was ist eine korrekte
Schlussfolgerung, Beherrschung der mathematischen
Ausdrucksmittel)
Begründen Sie Ihre Lösungen sorgfältig 
(ein Ergebnis ohne Lösungsweg bringt fast keine Punkte). 
Die Antwort auf die gestellten Fragen muss zum Schluss 
einer Aufgabe ersichtlich sein.

Dresden, den 14.8.2008, R. Pöschel