vorläufige Prüfungsschwerpunkte (Frühjahr und Herbst 2008)
(letzte Änderung 7.1.08) 

    Lineare Algebra und Analytische Geometrie, 
        elementare Zahlentheorie, Algebra

für den schriftlichen Teil der 1. Staatsprüfung,
Fach Mathematik, Lehramt an Gymnasien,
Klausur 2, Variante aa, 
Frühjahr bzw. Herbst 2008

Grundlage sind die Vorlesungen 

LAAG(Lineare Algebra und Analytische Geometrie) I und II,
gehalten von Prof. Droste/Kuske im WS 2003/2004 und SS 2004

sowie die Vorlesung Algebra I,
gehalten von Prof. R. Pöschel im WS 2004/2005 (oder WS 2003/04)

Zeitaufteilung (ungefähr): 
LAAG          80 min (40 Punkte), 
Zahlentheorie 40 min (20 Punkte),
Algebra      120 min (60 Punkte)

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Schwerpunkte "LAAG":

 Vektorräume (über Körper K), 
 erzeugte Unterräume, 
 lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit,
 Basis,
 Matrizen (auch inverse Matrizen!),
 lineare Gleichungssysteme (u.a. Lösbarkeit),
 Rechnen mit Determinanten,
 lineare Abbildungen,
 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen
 (Darstellungsmatrix bezüglich zweier Basen),
 Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume
 Diagonalisierbarkeit von Matrizen,



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Schwerpunkte "Zahlentheorie":

- Restklassenringe mod n,
  insbesondere das Rechnen modulo n,
  (eine Zahl m ist kongruent 0 modulo n genau dann, wenn 
   m durch n teilbar ist), 
  Chinesischer Restsatz 

- Ring der ganzen Zahlen 
  (Teilbarkeit, euklidischer Algorithmus, Primzahlen)


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Schwerpunkte "Algebra":

Gruppen 
  Untergruppen, Normalteiler, Faktorgruppen,
  zyklische Gruppen,
  abelsche Gruppen 
  (Haupsatz über die Struktur der endlich erzeugten abelschen Gruppen), 
  Homomorphismen und Isomorphismen,
  insbesondere Automorphismen(gruppen) von Graphen (!),
  Permutationsgruppen (Stabilisator, Bahn eines Elements)
  Ordnung einer Gruppe bzw. eines Gruppenelements, 
  Satz von Lagrange

Polynome und Körper
  Polynomring K[X] über Körper K, auch endliche Körper, 
  Reduzibilität/Irreduzibilität, 
  (notwendige und/oder hinreichende) Irreduzibilitätskriterien, 
  z.B. Eisenstein, Nullstellen,  
  Minimalpolynom \phi einer Nullstelle \alpha,
  der Faktorring K[X]/(\phi),
  Zerfällungskörper eines Polynoms

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Anmerkung:
neben einer guten Kenntnis des Prüfungsstoffes ist
vor allem ein gesunder mathematischer Verstand gefragt
(z.B. wie führt man einen Beweis, was ist eine korrekte
Schlussfolgerung, Beherrschung der mathematischen
Ausdrucksmittel)
Begründen Sie Ihre Lösungen sorgfältig 
(ein Ergebnis ohne Lösungsweg bringt fast keine Punkte). 
Die Antwort auf die gestellten Fragen muss zum Schluss 
einer Aufgabe ersichtlich sein.

Dresden, den 7.1.2008, R. Pöschel