Prüfungsschwerpunkte (Frühjahr und Herbst 2007)
(letzte Änderung 15.8.07) 

    Lineare Algebra und Analytische Geometrie, 
        elementare Zahlentheorie, Algebra

für den schriftlichen Teil der 1. Staatsprüfung,
Fach Mathematik, Lehramt an Gymnasien, (Teil Zahlentheorie gilt auch für LABS)
Klausur 2, Variante aa, 
Frühjahr bzw. Herbst 2007

Grundlage sind die Vorlesungen 

LAAG(Lineare Algebra und Analytische Geometrie) I und II,
gehalten von Prof. U. Brehm im WS 2002/2003 und SS 2003

sowie die Vorlesung Algebra I,
gehalten von Prof. R. Pöschel im WS 2003/2004

Zeitaufteilung (ungefähr): 
LAAG          80 min (40 Punkte), 
Zahlentheorie 40 min (20 Punkte),
Algebra      120 min (60 Punkte)

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Schwerpunkte "LAAG":

bei Prof. Brehm erfragen

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Schwerpunkte "Zahlentheorie":

- Restklassenringe mod n,
  insbesondere das Rechnen modulo n,
  (eine Zahl m ist kongruent 0 modulo n genau dann, wenn 
   m durch n teilbar ist), Diophantische Gleichungen,

- Ring der ganzen Zahlen 
  (Teilbarkeit, ggT, euklidischer Algorithmus, Primzahlen)


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Schwerpunkte "Algebra":

Gruppen 
  Untergruppen (speziell die von einer Teilmenge erzeugte Untergruppe)
  zyklische Gruppen,
  direkte Produkte,
  Homomorphismen und Isomorphismen (Homomorphiesatz),
  insbesondere Automorphismen(gruppen) von Graphen (!),
  Permutationsgruppen (Stabilisator, Bahn eines Elements)
  Ordnung einer Gruppe bzw. eines Gruppenelements, 
  Satz von Lagrange

Polynome und Körper
  Polynomring K[X] über Körper K, auch endliche Körper, 
  Reduzibilität/Irreduzibilität, 
  (notwendige und/oder hinreichende) Irreduzibilitätskriterien, 
  z.B. Eisenstein, Nullstellen,  
  Minimalpolynom \phi einer Nullstelle \alpha,
  der Faktorring K[X]/(\phi),
  Zerfällungskörper eines Polynoms

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Anmerkung:
neben einer guten Kenntnis des Prüfungsstoffes ist
vor allem ein gesunder mathematischer Verstand gefragt
(z.B. wie führt man einen Beweis, was ist eine korrekte
Schlussfolgerung, Beherrschung der mathematischen
Ausdrucksmittel)
Begründen Sie Ihre Lösungen sorgfältig 
(ein Ergebnis ohne Lösungsweg bringt fast keine Punkte). 
Die Antwort auf die gestellten Fragen muss zum Schluss 
einer Aufgabe ersichtlich sein.

Dresden, den 8.1.2007, R. Pöschel