Prüfungsschwerpunkte (Frühjahr und Herbst 2006)
(letzte Änderung 18.7.06) 

    Lineare Algebra und Analytische Geometrie, 
        elementare Zahlentheorie, Algebra

für den schriftlichen Teil der 1. Staatsprüfung,
Fach Mathematik, Lehramt an Gymnasien,
Klausur 2, Variante aa (neue LAPO), 
Frühjahr bzw. Herbst 2006

Grundlage sind die Vorlesungen 

LAAG(Lineare Algebra und Analytische Geometrie) I und II,
gehalten von Prof. M. Droste im WS 2001/2002 und SS 2002

sowie die Vorlesung Algebra I,
gehalten von Prof. M. Doste im WS 2002/2003

Zeitaufteilung (ungefähr): 
LAAG          80 min (40 Punkte), 
Zahlentheorie 40 min (20 Punkte),
Algebra      120 min (60 Punkte)

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Schwerpunkte "LAAG":

 Vektorräume (über Körper K), 
 erzeugte Unterräume, 
 lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit,
 Basis,
 Matrizen (auch inverse Matrizen),
 Gleichungssysteme,
 Determinaten,
 lineare Abbildungen,
 (wie beschreibt man eine lineare Abbildung eindeutig, 
  z.B. durch die Bilder der Basisvektoren)
 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen,
 Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume
 (Bestimmung einer Basis eines Eigenraumes)
 Diagonalisierbarkeit von Matrizen,
 Geraden, Ebenen (z.B. in Parameterform),
 Schnitt von Geraden und Ebenen,
 Abstände, Winkel im 3-dim. Raum R^3


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Schwerpunkte "Zahlentheorie":

- Restklassenringe mod n
  (insbesondere das Rechnen modulo n, Einheiten in Z_n),
  (eine Zahl m ist kongruent 0 modulo n genau dann, wenn 
   m durch n teilbar ist)

- Ring der ganzen Zahlen 
  (Teilbarkeit, ggT, euklidischer Algorithmus, Primzahlen)


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Schwerpunkte "Algebra":

Eigenschaften von binären Operationen auf einer Menge 
(assoziativ, kommutativ, neutrales Element, (Rechts/Links-)inverse Elemente) 

Was ist eine Halbgruppe?

Gruppen 
  Untergruppen, 
  zyklische Gruppen,
  direkte Produkte,
  Homomorphismen und Isomorphismen (Homomorphiesatz),
  Permutationsgruppen,
  Ordnung einer Gruppe bzw. eines Gruppenelements, 
  Satz von Lagrange

Polynome und Körper
  Polynomring K[X] über Körper K, auch endliche Körper, 
  Reduzibilität/Irreduzibilität, Irreduzibilitätskriterien,
  Nullstellen,  
  Minimalpolynom \phi einer Nullstelle \alpha,
  der Faktorring K[X]/(\phi)

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Anmerkung:
neben einer guten Kenntnis des Prüfungsstoffes ist
vor allem ein gesunder mathematischer Verstand gefragt
(z.B. wie führt man einen Beweis, was ist eine korrekte
Schlussfolgerung, Beherrschung der mathematischen
Ausdrucksmittel)
Begründen Sie Ihre Lösungen sorgfältig 
(ein Ergebnis ohne Lösungsweg bringt fast keine Punkte). 
Die Antwort auf die gestellten Fragen muss zum Schluss 
einer Aufgabe ersichtlich sein.

Dresden, den 7.1.2006, R. Pöschel