R. Pöschel, Institut für Algebra, TU Dresden

Prüfungsschwerpunkte für die mündliche Prüfung LAAG II (Studienjahr 2007/2008)
(betrifft Vorlesung gehalten von R. Pöschel)

Ablauf der Prüfung: Sie dürfen (aber müssen nicht)
mit einem selbst gewählten Einstiegsthema beginnen 
(kleiner Satz und Beweis!, max. 4-5 min) 
[Erinnern Sie mich daran, wenn Sie sich darauf
vorbereitet haben und ich nicht zu Beginn der Prüfung danach frage].
Danach folgen Fragen zur Vorlesung 
(man muss nicht immer alles wissen; aber das, was Sie wissen, 
sollten Sie selbst verstanden haben (Auswendiglernen hilft nicht))

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    Themenkomplexe

a) Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit

b) Bilinearformen und Euklidische Vektorräume

c) Selbstadjungierte Abbildungen und Hauptachsentransformation

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Wesentliche Begriffe:
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Gruppe, Körper, Vektorraum, Untervektorraum, Dimension, Basis,
Koordinatenvektor, linear abhängig, linear unabhängig,
Matrix, Rang, Kern, Bild, Determinante, 
Gleichungssystem, lineare Abbildung (Homomorphismus),
Koordinatentransformation, affine Abbildung, 
Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum,
algebraische und geometrische Vielfachheit, charakteristisches Polynom,
ähnliche Matrizen, Diagonalisierbarkeit, Normalform,
Polynom, Polynomfunktion, Linearform, Bilinearform, 
Skalarprodukt, quadratische Form, Gramsche Matrix,
dualer Raum, Galoisverbindung,
euklidischer Vektorraum, unitärer Vektorraum,
orthogonale Abbildung (die Gruppen O(n)), Orthogonalsystem, Orthonormalsystem,
Orthogonalprojektion,
selbstadjungierte Abbildung, symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix,
Hauptachsentransformation


Wesentliche Ergebnisse (Sätze) und Zusammenhänge:
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LAAG II:

Satz vom Einsetzungs-(Auswertungs-)homomorphismus (12.5),Nullstellenkriterium (12.8),
Eigenwertberechnung (13.6),
Diagonalisierbarkeitskriterien (13.12, 13.15, 18.4),
Trigonalisierbarkeitskriterium (13.21),
Klassifikationsprinzipien (14.0), Satz von der Jordanschen Normalform (14.3),
Duale Räume (15.2), Galoisverbindung (15.5, 15.6), (Dualitätssatz der linearen Algebra 15.8),
Beschreibung von Bilinearformen durch Matrizen (15.14),
Zusammenhang von Bilinearformen (15.17),
Charakterisierung von Skalarprodukten (15.15, 16.2),
Eigenschaften von Skalarprodukt und Norm (16.4), 
Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren (16.10),
Entwicklungssatz nach Orthonormalbasis (16.12)
Bedeutung der Orthogonalprojektion (16.14, 16.15),
Charakterisierung orthogonaler Abbildungen (17.2, Matrizendarstellung 17.4, 
Drehungen und Spiegelungen 10.19, 10.20),
Darstellung und Bedeutung selbstadjungierter Abbildungen (18.2, 18.3, 18.4),
Hauptachsentransformation (18.4, 18.10) (Spektralzerlegung 18.5),
Trägheitssatz (18.14) löst Klassifikationsproblem (18.11),
Bilinearformen und Kurven bzw. Flächen 2.Ordnung (18.15, 18.16),
Bedeutung von Eigenwerten (z.B. 13.4, 13.5, 18.5, 18.6, 18.18)


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