R. Pöschel, Institut für Algebra, TU Dresden

Prüfungsschwerpunkte für die mündliche Prüfung LAAG I+II (Studienjahr 2005/2006)
(betrifft Vorlesung gehalten von R. Pöschel)

Ablauf der Prüfung: Sie dürfen mit einem selbst gewählten Einstiegsthema beginnen 
(kleiner Satz und Beweis, max. 5 min) [Erinnern Sie mich daran, wenn Sie sich darauf
vorbereitet haben und ich nicht zu Beginn der Prüfung danach frage].
Danach folgen Fragen zur Vorlesung 
(man muss nicht immer alles wissen; aber das, was Sie wissen, 
sollten Sie selbst verstanden haben (Auswendiglernen hilft nicht))

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    Themenkomplexe

1) Vektorräume und lineare Abbildungen/Matrizen

2) Gleichungssysteme und Matrizen

3) Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit

4) Euklidische Vektorräume und Skalarprodukte (Bilinearformen)

5) Hauptachsentransformation

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Wesentliche Begriffe:
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Gruppe, Körper, Vektorraum, Untervektorraum, Dimension, Basis,
Koordinatenvektor, linear abhängig, linear unabhängig,
Matrix, Rang, Kern, Bild, Determinante, 
Gleichungssystem, lineare Abbildung (Homomorphismus),
Faktorraum,
Koordinatentransformation, affine Abbildung, 
Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum,
algebraische und geometrische Vielfachheit, charakteristisches Polynom,
ähnliche Matrizen, Diagonalisierbarkeit, Normalform,
Polynom, Polynomfunktion, Linearform, Bilinearform, 
Skalarprodukt, quadratische Form, Gramsche Matrix,
dualer Raum, Galoisverbindung,
euklidischer Vektorraum, unitärer Vektorraum,
orthogonale Abbildung, Orthogonalsystem, Orthonormalsystem,
Orthogonalprojektion,
symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix (selbstadjungierte Abbildung),
Hauptachsentransformation


Wesentliche Ergebnisse (Sätze) und Zusammenhänge:
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LAAG I:

Beweisprinzipien (1.12), Körper der komplexen Zahlen (2.8, vgl. auch 3.2),
endliche Körper (2.7), Zerlegung nach Basis (4.9),
Charakterisierung einer Basis (4.11), Austauschsatz von Steinitz (4.15, 4.16),
Dimensionssatz (4.22), Rangsatz (5.7), 
Elementare Umformungen in Stufenform (5.8-5.10),
Invertierbarkeitskriterien (5.15), 
lineare Gleichungssysteme und ihre Lösungen 
(6.3, 6.4=11.12, 6.8, 6.9(Gaußscher Algorithmus)), 
Fundamentalsatz für endlich-dimensionale Vektroräume (7.10),
Homomorphiesatz (7.16), Dimensionssatz (7.18) und Dimensionsformel (7.8),
Beschreibung linearer Abb. (7.6) auch durch Matrizen (8.1)
Basiswechsel, Koordinatentransformation (8.7, 8.9),
Äquivalenz und Ähnlichkeit (8.11) von Matrizen und ihre Charakterisierung (8.11, 8.13), 
Rechnen mit Determinanten (9.6, 9.8, 9.11, 9.14-17),
Analytische Geometrie des R^2 bzw. R^3 (Geraden, Ebenen und ihre Darstellung, Kap. 10)
Affine Räume (Standardbeispiel 11.5 und Satz 11.6(iii)) und affine Abb. (11.16))

LAAG II:

Satz vom Einsetzungs-(Auswertungs-)homomorphismus (12.5),Nullstellenkriterium (12.8),
Eigenwertberechnung (13.6),
Diagonalisierbarkeitskriterien (13.12, 13.15, 18.5),
Trigonalisierbarkeitskriterium (13.22),
Klassifikationsprinzipien (14.0), Satz von der Jordanschen Normalform (14.3),
Dualität (Dualitätssatz der linearen Algebra 15.15, 16.18, 16.19),
Beschreibung von Bilinearformen durch Matrizen (15.6),
Charakterisierung von Skalarprodukten (15.7, 16.2),
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (16.4), 
Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren (16.10),
Entwicklungssatz nach Orthonormalbasis (16.12)
Bedeutung der Orthogonalprojektion (16.14, 16.15),
Charakterisierung orthogonaler Abbildungen (17.2, 17.3, Matrizendarstellung 17.4, 17.13),
Darstellung und Bedeutung selbstadjungierter Abbildungen (18.2, 18.3, 18.4, Bem. zu 18.9),
Hauptachsentransformation (18.5) (Spektralsatz 18.5),
Trägheitssatz (18.12) löst Klassifikationsproblem (18:10),
Bilinearformen und Kurven bzw. Flächen 2.Ordnung (18.13, 18.14),
Bedeutung von Eigenwerten (z.B. 18.16-18, 13.4, 13.5)


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