R. Pöschel, Institut für Algebra, TU Dresden

Prüfungsschwerpunkte für die mündliche Prüfung LAAG I+II (Studienjahr 1999/2000)
(betrifft Vorlesung gehalten von R. Pöschel)

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    Themenkomplexe

1) Vektorräume und lineare Abbildungen/Matrizen

2) Gleichungssysteme und Matrizen

3) Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit

4) Euklidische Vektorräume und Skalarprodukte (Bilinearformen)

5) Hauptachsentransformation

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zu 5): Kapitel 18 nur bis 18.5


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Wesentliche Begriffe:
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Gruppe, Körper, Vektorraum, Untervektorraum, Dimension, Basis,
Koordinatenvektor, linear abhängig, linear unabhängig,
Matrix, Rang, Kern, Bild, Determinante, 
Gleichungssystem, lineare Abbildung (Homomorphismus),
Koordinatentransformation, affine Abbildung, 
Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum,
algebraische und geometrische Vielfachheit, charakteristisches Polynom,
ähnliche Matrizen, Diagonalisierbarkeit, Normalform,
Polynom, Bilinearform, Skalarprodukt, Gramsche Matrix,
euklidischer Vektorraum, unitärer Vektorraum,
orthogonale Abbildung, Orthogonalsystem, Orthonormalsystem,
Orthogonalprojektion,
symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix (selbstadjungierte Abbildung),
Hauptachsentransformation


Wesentliche Ergebnisse (Sätze) und Zusammenhänge:
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Beweisprizipien (1.12), Körper der komplexen Zahlen (2.8, vgl. auch 3.2),
endliche Körper (2.7), Zerlegung nach Basis (4.9),
Charakterisierung einer Basis (4.11), Austauschsatz von Steinitz (4.15, 4.16),
Dimensionssatz (4.22), Rangsatz (5.7), 
Elementare Umformungen in Stufenform (5.8-5.10),
Invertierbarkeitskriterien (5.15), 
Rechnen mit Determinanten (6.1, 6.3, 6.8, 6.10, 6.14),
lineare Gleichungssysteme und ihre Lösungen (7.3, 7.4=11.11, 7.8, 7.11(Gaußscher Algorithmus)), 
Fundamentalsatz für endlich-dimensionale Vektroräume (8.10),
Beschreibung linearer Abb. durch Matrizen (8.12), Dimensionsformel (8.7),
Basiswechsel, Koordinatentransformation (8.19, 8.20),
Bedeutung der Ähnlichkeit (8.23),
Homomorphiesatz für Vektorräume (10.4),
Matrixdarstellung affiner Abbildungen (11.9),
Satz vom Einsetzungshomomorphismus (12.7),Nullstellenkriterium (12.10),
Diagonalisierbarkeitskriterien (13.3, 13.8, 13.10, 13.16(b),18.5),
Bedeutung des charakteristischen Polynoms (13.12),
Klassifikationsprinzipien (14.0), Satz von der Jordanschen Normalform (14.3),
Dualitätssatz der linearen Algebra (15.6),
Beschreibung von Bilinearformen durch Matrizen (15.11),
Charakterisierung von Skalarprodukten (15.15, 16.1),
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (16.2), 
Entwicklungssatz nach Orthonormalbasis (16.8) und 
Bedeutung der Orthogonalprojektion (16.12a,b, 16.13),
Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren (16.9),
Charakterisierung orthogonaler Abbildungen (17.2, 17.3, Matrizendarstellung 17.4, 17.11),
Darstellung und Bedeutung selbstadjungierter Abbildungen (18.2, 18.3, 18.4, 18.6),
Hauptachsentransformation (Spektralsatz 18.5),

Bilinearformen und Flächen 2.Ordnung (18.12),
Bedeutung der Eigenwerte für Optimierungsprobleme (18.14, 18.15),
Bewegungen, Symmetrien und deren Klassifikation (19.2 - 19.4)



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